Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 x + 3} = 1$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{6 x + 7}$ auf.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x) + 3} = 1$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x) + 3 (1)} = 1$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (1)$ heraus.

$\sqrt{6 x + 7} - \sqrt{3 (x + 1)} = 1$

Schritt 1.2

Addiere $\sqrt{3 (x + 1)}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{6 x + 7} = 1 + \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{6 x + 7}}^{2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x + 7}$ als ${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 x + 7)}^{1} = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$6 x + 7 = {(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{3 (x + 1)})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$ um.

$6 x + 7 = (1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{3 (x + 1)}) (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 7 = 1 (1 + \sqrt{3 (x + 1)}) + \sqrt{3 (x + 1)} (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 7 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} (1 + \sqrt{3 (x + 1)})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 7 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$6 x + 7 = 1 + 1 \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3 (x + 1)}$ mit $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \cdot 1 + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3 (x + 1)}$ mit $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{3 (x + 1)} \sqrt{3 (x + 1)}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{3 (x + 1)}$ mit $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1} \sqrt{3 (x + 1)}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3 (x + 1)}$ mit $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1} {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {\sqrt{3 (x + 1)}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{3 (x + 1)}}^{2}$ als $3 (x + 1)$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (x + 1)}$ als ${(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {({(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + {(3 (x + 1))}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 (x + 1)$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x + 3 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 x + 7 = 1 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x + 3$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$6 x + 7 = 4 + \sqrt{3 (x + 1)} + \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{3 (x + 1)}$ und $\sqrt{3 (x + 1)}$ .

$6 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x$

Schritt 4

Löse nach $2 \sqrt{3 (x + 1)}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7$ um.

$4 + 2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{3 (x + 1)}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{3 (x + 1)} + 3 x = 6 x + 7 - 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 6 x + 7 - 4 - 3 x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $3 x$ von $6 x$ .

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 3 x + 7 - 4$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$2 \sqrt{3 (x + 1)} = 3 x + 3$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{3 (x + 1)})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (x + 1)}$ als ${(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(2 {(3 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 {(3 x + 3 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

${(2 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $2 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(3 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(3 x + 3)}^{1} = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Vereinfache.

$4 (3 x + 3) = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 \cdot 3 = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x + 4 \cdot 3 = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x + 12 = {(3 x + 3)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(3 x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(3 x + 3)}^{2}$ als $(3 x + 3) (3 x + 3)$ um.

$12 x + 12 = (3 x + 3) (3 x + 3)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(3 x + 3) (3 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x + 12 = 3 x (3 x + 3) + 3 (3 x + 3)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x + 12 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x + 3)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x + 12 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$12 x + 12 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 3 (3 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 9 x + 9 x + 9$

Schritt 6.3.1.3.2

Addiere $9 x$ und $9 x$ .

$12 x + 12 = 9 x^{2} + 18 x + 9$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 x^{2} + 18 x + 9 = 12 x + 12$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 18 x + 9 - 12 x = 12$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $12 x$ von $18 x$ .

$9 x^{2} + 6 x + 9 = 12$

Schritt 7.3

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 6 x + 9 - 12 = 0$

Schritt 7.4

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$9 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{2} + 6 x - 3$ heraus.

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Schritt 7.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$3 (3 x^{2}) + 6 x - 3 = 0$

Schritt 7.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$3 (3 x^{2}) + 3 (2 x) - 3 = 0$

Schritt 7.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (3 x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (- 1) = 0$

Schritt 7.5.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x^{2}) + 3 (2 x)$ heraus.

$3 (3 x^{2} + 2 x) + 3 (- 1) = 0$

Schritt 7.5.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x^{2} + 2 x) + 3 (- 1)$ heraus.

$3 (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 7.5.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$3 (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Schritt 7.5.2.1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$3 (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Schritt 7.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Schritt 7.5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Schritt 7.5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 7.5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$3 ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 7.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 7.7

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 7.7.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 7.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 7.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 7.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 7.8

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (3 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{3}, - 1$