Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24$ .

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{2}} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ um.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{4}}$ .

$u^{2} - 5 u - 24 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $u^{2} - 5 u - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 8, 3$

Schritt 1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u + 3) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{\frac{1}{4}} - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{\frac{1}{4}} - 8$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{4}} = 8$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 8^{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 8^{4}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 8^{4}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$x = 4096$

Schritt 4

Setze $x^{\frac{1}{4}} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{\frac{1}{4}} + 3$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{4}} = - 3$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 3)}^{4}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$x = 81$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4096, 81$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$ nicht erfüllen.

$x = 4096$