Algebravorstufe Beispiele

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

${(e^{x})}^{2} + 2 e^{x} - 15 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$u^{2} + 2 u - 15 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u + 5) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

$e^{x} + 5 = 0$

Schritt 3

Setze $e^{x} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $e^{x} - 3$ gleich $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $e^{x} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 3$

Schritt 3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Schritt 3.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (3)$

Schritt 4

Setze $e^{x} + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $e^{x} + 5$ gleich $0$ .

$e^{x} + 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse $e^{x} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = - 5$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 5)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 5)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - 5$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (3)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (3)$

Dezimalform:

$x = 1.09861228 \dots$