Algebravorstufe Beispiele

$8 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{4}$ heraus.

$8 x (x^{3}) + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$8 x (x^{3}) + 8 x (x^{2}) + 8 x^{2} + 8 x = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$8 x (x^{3}) + 8 x (x^{2}) + 8 x (x) + 8 x = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x$ heraus.

$8 x (x^{3}) + 8 x (x^{2}) + 8 x (x) + 8 x (1) = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{3}) + 8 x (x^{2})$ heraus.

$8 x (x^{3} + x^{2}) + 8 x (x) + 8 x (1) = 0$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{3} + x^{2}) + 8 x (x)$ heraus.

$8 x (x^{3} + x^{2} + x) + 8 x (1) = 0$

Schritt 1.1.7

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{3} + x^{2} + x) + 8 x (1)$ heraus.

$8 x (x^{3} + x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$8 x ((x^{3} + x^{2}) + x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$8 x (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$8 x ((x + 1) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 x (x + 1) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 x (x + 1) (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, i, - i$