Algebravorstufe Beispiele

$8 x^{\frac{1}{3}} = x^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1

Eliminiere die gebrochenen Exponenten durch Multiplizieren beider Exponenten mit dem Hauptnenner.

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $8 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$512 x^{1} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$512 x = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x = x^{- \frac{2}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$512 x = x^{- 2}$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}$

Schritt 4.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 5

Multipliziere jeden Term in $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ mit $x^{2}$ .

$512 x \cdot x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$512 (x^{2} x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$512 (x^{2} x^{1}) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$512 x^{2 + 1} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$512 x^{3} = 1$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$512 x^{3} - 1 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $512 x^{3}$ als ${(8 x)}^{3}$ um.

${(8 x)}^{3} - 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(8 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 6.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 8 x$ und $b = 1$ .

$(8 x - 1) ({(8 x)}^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$(8 x - 1) (8^{2} x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 6.2.4.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 6.2.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$8 x - 1 = 0$

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Schritt 6.4

Setze $8 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $8 x - 1$ gleich $0$ .

$8 x - 1 = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $8 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x = 1$

Schritt 6.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 6.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 6.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Schritt 6.5

Setze $64 x^{2} + 8 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $64 x^{2} + 8 x + 1$ gleich $0$ .

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.5.2.2

Setze die Werte $a = 64$ , $b = 8$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.3.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Schritt 6.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 256$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.3

Subtrahiere $256$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.4

Schreibe $- 192$ als $- 1 (192)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (192)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.7

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 64}$

Schritt 6.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$

Schritt 6.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{16}$

Schritt 6.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{8}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$