Algebravorstufe Beispiele

$3 x + \frac{\frac{1}{2}}{3 \cdot x} + 4 x - 2 + x = 169$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$3 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot x} + 4 x - 2 + x = 169$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $3$ mit $x$ .

$3 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 x} + 4 x - 2 + x = 169$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3 x}$ .

$3 x + \frac{1}{2 (3 x)} + 4 x - 2 + x = 169$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 x + \frac{1}{6 x} + 4 x - 2 + x = 169$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 6 x, 1, 1, 1, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$6 x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $3 x + \frac{1}{6 x} + 4 x - 2 + x = 169$ mit $6 x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $3 x + \frac{1}{6 x} + 4 x - 2 + x = 169$ mit $6 x$ .

$3 x (6 x) + \frac{1}{6 x} (6 x) + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 6 x \cdot x + \frac{1}{6 x} (6 x) + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 \cdot 6 (x \cdot x) + \frac{1}{6 x} (6 x) + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 \cdot 6 x^{2} + \frac{1}{6 x} (6 x) + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18 x^{2} + \frac{1}{6 x} (6 x) + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$18 x^{2} + 6 \frac{1}{6 x} x + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$18 x^{2} + 6 \frac{1}{6 (x)} x + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 x^{2} + 6 \frac{1}{6 x} x + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$18 x^{2} + \frac{1}{x} x + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 x^{2} + \frac{1}{x} x + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$18 x^{2} + 1 + 4 x (6 x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$18 x^{2} + 1 + 4 \cdot 6 x \cdot x - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.8.1

Bewege $x$ .

$18 x^{2} + 1 + 4 \cdot 6 (x \cdot x) - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$18 x^{2} + 1 + 4 \cdot 6 x^{2} - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$18 x^{2} + 1 + 24 x^{2} - 2 (6 x) + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$18 x^{2} + 1 + 24 x^{2} - 12 x + x (6 x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$18 x^{2} + 1 + 24 x^{2} - 12 x + 6 x \cdot x = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.12

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.12.1

Bewege $x$ .

$18 x^{2} + 1 + 24 x^{2} - 12 x + 6 (x \cdot x) = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.1.12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$18 x^{2} + 1 + 24 x^{2} - 12 x + 6 x^{2} = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $18 x^{2}$ und $24 x^{2}$ .

$42 x^{2} + 1 - 12 x + 6 x^{2} = 169 (6 x)$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $42 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$48 x^{2} + 1 - 12 x = 169 (6 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $169$ .

$48 x^{2} + 1 - 12 x = 1014 x$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $1014 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$48 x^{2} + 1 - 12 x - 1014 x = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $1014 x$ von $- 12 x$ .

$48 x^{2} + 1 - 1026 x = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = 48$ , $b = - 1026$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1026 \pm \sqrt{{(- 1026)}^{2} - 4 \cdot (48 \cdot 1)}}{2 \cdot 48}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $- 1026$ mit $2$ .

$x = \frac{1026 \pm \sqrt{1052676 - 4 \cdot 48 \cdot 1}}{2 \cdot 48}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 48 \cdot 1$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $48$ .

$x = \frac{1026 \pm \sqrt{1052676 - 192 \cdot 1}}{2 \cdot 48}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 192$ mit $1$ .

$x = \frac{1026 \pm \sqrt{1052676 - 192}}{2 \cdot 48}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $192$ von $1052676$ .

$x = \frac{1026 \pm \sqrt{1052484}}{2 \cdot 48}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $1052484$ als $2^{2} \cdot 263121$ um.

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Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1052484$ heraus.

$x = \frac{1026 \pm \sqrt{4 (263121)}}{2 \cdot 48}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{1026 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 263121}}{2 \cdot 48}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1026 \pm 2 \sqrt{263121}}{2 \cdot 48}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$x = \frac{1026 \pm 2 \sqrt{263121}}{96}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{1026 \pm 2 \sqrt{263121}}{96}$ .

$x = \frac{513 \pm \sqrt{263121}}{48}$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{513 + \sqrt{263121}}{48}, \frac{513 - \sqrt{263121}}{48}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{513 + \sqrt{263121}}{48}, \frac{513 - \sqrt{263121}}{48}$

Dezimalform:

$x = 21.37402529 \dots, 0.00097470 \dots$