Algebravorstufe Beispiele

$x = \sqrt{- 3 x + 40}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{- 3 x + 40} = x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- 3 x + 40}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 3 x + 40}$ als ${(- 3 x + 40)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 3 x + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(- 3 x + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 3 x + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 3 x + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 3 x + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 3 x + 40)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$- 3 x + 40 = x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x + 40 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x + 40 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $40$ .

$- 3 x - x^{2} + 40 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $- 3 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} - 3 x + 40 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 3 x + 40 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (3 x) + 40 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe $40$ als $- 1 (- 40)$ um.

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 40 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (3 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 40 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 40)$ heraus.

$- (x^{2} + 3 x - 40) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 40$ und deren Summe $3$ ist.

$- 5, 8$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 5) (x + 8)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 5) (x + 8) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 4.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.5

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 5) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 8$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $x = \sqrt{- 3 x + 40}$ nicht erfüllen.

$x = 5$