Algebravorstufe Beispiele

$2 a^{2} + 24 a = - 78$

Schritt 1

Addiere $78$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 a^{2} + 24 a + 78 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{2} + 24 a + 78$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{2}$ heraus.

$2 (a^{2}) + 24 a + 78 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $24 a$ heraus.

$2 (a^{2}) + 2 (12 a) + 78 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $78$ heraus.

$2 a^{2} + 2 (12 a) + 2 \cdot 39 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{2} + 2 (12 a)$ heraus.

$2 (a^{2} + 12 a) + 2 \cdot 39 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (a^{2} + 12 a) + 2 \cdot 39$ heraus.

$2 (a^{2} + 12 a + 39) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 (a^{2} + 12 a + 39) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (a^{2} + 12 a + 39) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (a^{2} + 12 a + 39)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (a^{2} + 12 a + 39)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $a^{2} + 12 a + 39$ durch $1$ .

$a^{2} + 12 a + 39 = \frac{0}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$a^{2} + 12 a + 39 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 12$ und $c = 39$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 39)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$a = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $39$ .

$a = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $156$ von $144$ .

$a = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$a = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$a = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$a = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 12 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{- 12 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{- 12 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$a = - 6 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = - 6 + i \sqrt{3}, - 6 - i \sqrt{3}$