Algebravorstufe Beispiele

$x = {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1 = x$ um.

${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1 = x$

Schritt 2

Wende die Produktregel auf $\frac{a}{b}$ an.

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} - 1 = x$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} - x = 1$

Schritt 3.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = 1 + x$

Schritt 4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}) = \ln (1 + x)$

Schritt 5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.1

Schreibe $\ln (\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}})$ als $\ln (a^{\frac{1}{n}}) - \ln (b^{\frac{1}{n}})$ um.

$\ln (a^{\frac{1}{n}}) - \ln (b^{\frac{1}{n}}) = \ln (1 + x)$

Schritt 5.2

Zerlege $\ln (a^{\frac{1}{n}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{n}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{n} \ln (a) - \ln (b^{\frac{1}{n}}) = \ln (1 + x)$

Schritt 5.3

Zerlege $\ln (b^{\frac{1}{n}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{n}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{n} \ln (a) - (\frac{1}{n} \ln (b)) = \ln (1 + x)$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{1}{n}$ und $\ln (a)$ .

$\frac{\ln (a)}{n} - (\frac{1}{n} \ln (b)) = \ln (1 + x)$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{n}$ und $\ln (b)$ .

$\frac{\ln (a)}{n} - \frac{\ln (b)}{n} = \ln (1 + x)$

Schritt 6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1

Vereinfache $\frac{\ln (a)}{n} - \frac{\ln (b)}{n}$ .

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Schritt 6.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (a) - \ln (b)}{n} = \ln (1 + x)$

Schritt 6.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$

Schritt 7

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$n, 1$

Schritt 7.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$n$

Schritt 8

Multipliziere jeden Term in $\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$ mit $n$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$ mit $n$ .

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} n = \ln (1 + x) n$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} n = \ln (1 + x) n$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{a}{b}) = \ln (1 + x) n$

Schritt 9

Löse die Gleichung.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ um.

$\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ durch $\ln (1 + x)$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ durch $\ln (1 + x)$ .

$\frac{\ln (1 + x) n}{\ln (1 + x)} = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1 + x)$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (1 + x) n}{\ln (1 + x)} = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$