Algebravorstufe Beispiele

$4000 {(1 + 0.05)}^{t} = 10000$

Schritt 1

Addiere $1$ und $0.05$ .

$4000 \cdot {1.05}^{t} = 10000$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4000 \cdot {1.05}^{t} = 10000$ durch $4000$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4000 \cdot {1.05}^{t} = 10000$ durch $4000$ .

$\frac{4000 \cdot {1.05}^{t}}{4000} = \frac{10000}{4000}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4000$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4000 \cdot {1.05}^{t}}{4000} = \frac{10000}{4000}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere ${1.05}^{t}$ durch $1$ .

${1.05}^{t} = \frac{10000}{4000}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10000$ und $4000$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2000$ aus $10000$ heraus.

${1.05}^{t} = \frac{2000 (5)}{4000}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2000$ aus $4000$ heraus.

${1.05}^{t} = \frac{2000 \cdot 5}{2000 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${1.05}^{t} = \frac{2000 \cdot 5}{2000 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${1.05}^{t} = \frac{5}{2}$

Schritt 3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({1.05}^{t}) = \ln (\frac{5}{2})$

Schritt 4

Zerlege $\ln ({1.05}^{t})$ durch Herausziehen von $t$ aus dem Logarithmus.

$t \ln (1.05) = \ln (\frac{5}{2})$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $t \ln (1.05) = \ln (\frac{5}{2})$ durch $\ln (1.05)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $t \ln (1.05) = \ln (\frac{5}{2})$ durch $\ln (1.05)$ .

$\frac{t \ln (1.05)}{\ln (1.05)} = \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.05)}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1.05)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \ln (1.05)}{\ln (1.05)} = \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.05)}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.05)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.05)}$

Dezimalform:

$t = 18.78023465 \dots$