Algebravorstufe Beispiele

$125 = 20 t + 0.5 \cdot 10 \cdot t^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $20 t + 0.5 \cdot 10 \cdot t^{2} = 125$ um.

$20 t + 0.5 \cdot 10 \cdot t^{2} = 125$

Schritt 2

Mutltipliziere $0.5$ mit $10$ .

$20 t + 5 t^{2} = 125$

Schritt 3

Subtrahiere $125$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 t + 5 t^{2} - 125 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5$ aus $20 t + 5 t^{2} - 125$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $20 t$ heraus.

$5 (4 t) + 5 t^{2} - 125 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 t^{2}$ heraus.

$5 (4 t) + 5 (t^{2}) - 125 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 125$ heraus.

$5 (4 t) + 5 t^{2} + 5 \cdot - 25 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (4 t) + 5 t^{2}$ heraus.

$5 (4 t + t^{2}) + 5 \cdot - 25 = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (4 t + t^{2}) + 5 \cdot - 25$ heraus.

$5 (4 t + t^{2} - 25) = 0$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$5 (t^{2} + 4 t - 25) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $5 (t^{2} + 4 t - 25) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (t^{2} + 4 t - 25) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 (t^{2} + 4 t - 25)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (t^{2} + 4 t - 25)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $t^{2} + 4 t - 25$ durch $1$ .

$t^{2} + 4 t - 25 = \frac{0}{5}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$t^{2} + 4 t - 25 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 25$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 25$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Addiere $16$ und $100$ .

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $116$ als $2^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $116$ heraus.

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$t = - 2 \pm \sqrt{29}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = - 2 + \sqrt{29}, - 2 - \sqrt{29}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = - 2 + \sqrt{29}, - 2 - \sqrt{29}$

Dezimalform:

$t = 3.38516480 \dots, - 7.38516480 \dots$