Algebravorstufe Beispiele

$r^{4} - 8 r^{2} = - 15$

Schritt 1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{4} - 8 r^{2} + 15 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $r^{4}$ als ${(r^{2})}^{2}$ um.

${(r^{2})}^{2} - 8 r^{2} + 15 = 0$

Schritt 2.2

Es sei $u = r^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $r^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 15 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $u^{2} - 8 u + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u - 3) = 0$

Schritt 2.4

Ersetze alle $u$ durch $r^{2}$ .

$(r^{2} - 5) (r^{2} - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r^{2} - 5 = 0$

$r^{2} - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $r^{2} - 5$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $r^{2} - 5$ gleich $0$ .

$r^{2} - 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse $r^{2} - 5 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = 5$

Schritt 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{5}$

Schritt 4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \sqrt{5}$

Schritt 4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \sqrt{5}$

Schritt 4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 5

Setze $r^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $r^{2} - 3$ gleich $0$ .

$r^{2} - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $r^{2} - 3 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = 3$

Schritt 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r^{2} - 5) (r^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$r = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$r = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$