Algebravorstufe Beispiele

$w^{4} - w = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{4} - w$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{4}$ heraus.

$w \cdot w^{3} - w = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $w$ aus $- w$ heraus.

$w \cdot w^{3} + w \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $w$ aus $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ heraus.

$w (w^{3} - 1) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$w (w^{3} - 1^{3}) = 0$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = w$ und $b = 1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $w$ mit $1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2})) = 0$

Schritt 1.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1)) = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$w = 0$

$w - 1 = 0$

$w^{2} + w + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $w$ gleich $0$ .

$w = 0$

Schritt 4

Setze $w - 1$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $w - 1$ gleich $0$ .

$w - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$w = 1$

Schritt 5

Setze $w^{2} + w + 1$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $w^{2} + w + 1$ gleich $0$ .

$w^{2} + w + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $w^{2} + w + 1 = 0$ nach $w$ auf.

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Schritt 5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $w$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$w = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$ wahr machen.

$w = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$