Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{20} = \frac{3}{10}$

Schritt 1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{20} = \frac{3}{10}$ mit $20$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{20} = \frac{3}{10}$ mit $20$ .

$\frac{x^{2}}{2} \cdot 20 - \frac{7 x}{20} \cdot 20 = \frac{3}{10} \cdot 20$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{x^{2}}{2} \cdot (2 (10)) - \frac{7 x}{20} \cdot 20 = \frac{3}{10} \cdot 20$

Schritt 1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{2} \cdot (2 \cdot 10) - \frac{7 x}{20} \cdot 20 = \frac{3}{10} \cdot 20$

Schritt 1.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \cdot 10 - \frac{7 x}{20} \cdot 20 = \frac{3}{10} \cdot 20$

Schritt 1.2.1.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$10 \cdot x^{2} - \frac{7 x}{20} \cdot 20 = \frac{3}{10} \cdot 20$

Schritt 1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 1.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 x}{20}$ in den Zähler.

$10 x^{2} + \frac{- 7 x}{20} \cdot 20 = \frac{3}{10} \cdot 20$

Schritt 1.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 x^{2} + \frac{- 7 x}{20} \cdot 20 = \frac{3}{10} \cdot 20$

Schritt 1.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$10 x^{2} - 7 x = \frac{3}{10} \cdot 20$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$10 x^{2} - 7 x = \frac{3}{10} \cdot (10 (2))$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 x^{2} - 7 x = \frac{3}{10} \cdot (10 \cdot 2)$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$10 x^{2} - 7 x = 3 \cdot 2$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$10 x^{2} - 7 x = 6$

Schritt 2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 10 \cdot - 6 = - 60$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$10 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 7$ um als $5$ plus $- 12$

$10 x^{2} + (5 - 12) x - 6 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x^{2} + 5 x - 12 x - 6 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(10 x^{2} + 5 x) - 12 x - 6 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$5 x (2 x + 1) - 6 (2 x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (5 x - 6) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$5 x - 6 = 0$

Schritt 5

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Setze $5 x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $5 x - 6$ gleich $0$ .

$5 x - 6 = 0$

Schritt 6.2

Löse $5 x - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 6$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 6$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (5 x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{6}{5}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{6}{5}$

Dezimalform:

$x = - 0.5, 1.2$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{5}$