Algebravorstufe Beispiele

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ als ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$u^{2} + u - 6 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} + u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Schritt 3

Setze ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 1)}^{1} = 2^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x - 1 = 2^{3}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x - 1 = 8$

Schritt 3.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8 + 1$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $8$ und $1$ .

$x = 9$

Schritt 4

Setze ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = - 3$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 1)}^{1} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x - 1 = {(- 3)}^{3}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$x - 1 = - 27$

Schritt 4.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 27 + 1$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $- 27$ und $1$ .

$x = - 26$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 26$