Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{42^{2}} = \frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$ um.

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$

Schritt 2

Potenziere $42$ mit $2$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 x, 4 x^{2}, 1764$

Schritt 3.2

Since $4 x, 4 x^{2}, 1764$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 4, 1764$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Schritt 3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 3.5

Die Primfaktoren von $1764$ sind $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Schritt 3.5.1

$1764$ hat Faktoren von $2$ und $882$ .

$2 \cdot 882$

Schritt 3.5.2

$882$ hat Faktoren von $2$ und $441$ .

$2 \cdot 2 \cdot 441$

Schritt 3.5.3

$441$ hat Faktoren von $3$ und $147$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 147$

Schritt 3.5.4

$147$ hat Faktoren von $3$ und $49$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 49$

Schritt 3.5.5

$49$ hat Faktoren von $7$ und $7$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Schritt 3.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$36 \cdot 7 \cdot 7$

Schritt 3.6.4

Mutltipliziere $36$ mit $7$ .

$252 \cdot 7$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $252$ mit $7$ .

$1764$

Schritt 3.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 3.8

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 3.9

Das kgV von $x^{1}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 3.11

Das kgV von $4 x, 4 x^{2}, 1764$ ist der numerische Teil $1764$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$1764 x^{2}$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ mit $1764 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ mit $1764 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 x} (1764 x^{2}) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1764 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $1764$ heraus.

$4 (441) \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$4 (441) \frac{1}{4 (x)} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 441 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$441 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $441$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{441}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$441 x + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$441 x + 1764 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $1764$ heraus.

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 (x^{2})} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$441 x + 4 \cdot 441 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$441 x + 441 \frac{5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.7

Kombiniere $441$ und $\frac{5}{x^{2}}$ .

$441 x + \frac{441 \cdot 5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.8

Mutltipliziere $441$ mit $5$ .

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.2.1.9.2

Forme den Ausdruck um.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1764$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $1764$ aus $1764 x^{2}$ heraus.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 (x^{2}))$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Schritt 4.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$441 x + 2205 = x^{2}$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$441 x + 2205 - x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 441$ und $c = 2205$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 441 \pm \sqrt{441^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 2205)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1.1

Potenziere $441$ mit $2$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 - 4 \cdot - 1 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 2205$ .

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Schritt 5.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 4 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2205$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 8820}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.1.3

Addiere $194481$ und $8820$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{203301}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.1.4

Schreibe $203301$ als $21^{2} \cdot 461$ um.

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Schritt 5.4.1.4.1

Faktorisiere $441$ aus $203301$ heraus.

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{441 (461)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.1.4.2

Schreibe $441$ als $21^{2}$ um.

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{21^{2} \cdot 461}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache $\frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$ .

$x = \frac{441 \pm 21 \sqrt{461}}{2}$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

Dezimalform:

$x = 445.94456081 \dots, - 4.94456081 \dots$