Algebravorstufe Beispiele

$\frac{4 x - 12 y}{x^{2} - 4 y^{2}} \div \frac{x - 3 y}{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{4 x - 12 y}{x^{2} - 4 y^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 2

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 12 y$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{4 (x) - 12 y}{x^{2} - 4 y^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12 y$ heraus.

$\frac{4 (x) + 4 (- 3 y)}{x^{2} - 4 y^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 3 y)$ heraus.

$\frac{4 (x - 3 y)}{x^{2} - 4 y^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$\frac{4 (x - 3 y)}{x^{2} - {(2 y)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2 y$ .

$\frac{4 (x - 3 y)}{(x + 2 y) (x - (2 y))} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (x - 3 y)}{(x + 2 y) (x - 2 y)} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3 y$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x - 3 y$ aus $4 (x - 3 y)$ heraus.

$\frac{(x - 3 y) \cdot 4}{(x + 2 y) (x - 2 y)} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3 y) \cdot 4}{(x + 2 y) (x - 2 y)} \cdot \frac{x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}}{x - 3 y}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{(x + 2 y) (x - 2 y)} (x^{2} - 7 x y - 18 y^{2})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{4}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$ mit $x^{2} - 7 x y - 18 y^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 7 x y - 18 y^{2})}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot - 18 = - 18$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{4 (x^{2} - 18 y^{2} - 7 x y)}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5.1.2

Stelle $- 18 y^{2}$ und $- 7 x y$ um.

$\frac{4 (x^{2} - 7 x y - 18 y^{2})}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x y$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 7 (x y) - 18 y^{2})}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 7$ um als $2$ plus $- 9$

$\frac{4 (x^{2} + (2 - 9) (x y) - 18 y^{2})}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x^{2} + 2 (x y) - 9 (x y) - 18 y^{2})}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{4 (x^{2} + 2 x y - 9 x y - 18 y^{2})}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 ((x^{2} + 2 x y) - 9 x y - 18 y^{2})}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 (x (x + 2 y) - 9 y (x + 2 y))}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2 y$ .

$\frac{4 ((x + 2 y) (x - 9 y))}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

$\frac{4 (x + 2 y) (x - 9 y)}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x + 2 y) (x - 9 y)}{(x + 2 y) (x - 2 y)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (x - 9 y)}{x - 2 y}$