Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} - 3 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} - 3 (x) - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + (1 - 4) x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{4 x^{2} + x - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x^{2} + x) - 4 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x (4 x + 1) - (4 x + 1)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $3$ ist.

$- 2, 5$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 x + 5}{x + 5} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 2

Um $\frac{3 x + 5}{x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 3

Um $- \frac{x + 1}{2 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3 x + 5}{x + 5} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} - \frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 5) (2 - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 x + 5}{x + 5}$ mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(x + 5) (2 - x)} - \frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{2 - x}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(x + 5) (2 - x)} - \frac{(x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 5) (2 - x)$ um.

$\frac{(3 x + 5) (2 - x)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 x + 5) (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(3 x + 5) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (2 - x) + 5 (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 5 (2 - x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot 2 + 3 x (- x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x + 3 x (- x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 x \cdot x + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 (x \cdot x) + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 5 \cdot 2 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 10 + 5 (- x) - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{6 x - 3 x^{2} + 10 - 5 x - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $6 x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - (x + 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 + (- x - 1) (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.5

Multipliziere $(- x - 1) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x (x + 5) - 1 (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (x + 5)}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x \cdot x - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.6.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $x$ von $- 5 x$ .

$\frac{x - 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 6 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $6 x$ von $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 10 - x^{2} - 5 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.8

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 10 - 5 x - 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 6.9

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(- 1 (- x) - 2) (x + 5)}$

Schritt 7.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{(- 1 (- x) - 1 (2)) (x + 5)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(2 - x) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 8

Um $\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{- 4 x^{2} - 5 x + 5}{(- x + 2) (x + 5)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1}{(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 9.2

Stelle die Faktoren von $(- x + 2) (x + 5) \cdot - 1$ um.

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)} - \frac{(4 x + 1) (x - 1)}{- 1 (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 4 x^{2} - 5 x + 5) \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x^{2} \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 1 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - (4 x + 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- (4 x) - 1 \cdot 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- 4 x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 + (- 4 x - 1) (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.6

Multipliziere $(- 4 x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x (x - 1) - 1 (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.7.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot - 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 4 x - x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.7.2

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x - 5 - 4 x^{2} + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.8

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{5 x - 5 + 0 + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.9

Addiere $5 x$ und $0$ .

$\frac{5 x - 5 + 3 x + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.10

Addiere $5 x$ und $3 x$ .

$\frac{8 x - 5 + 1}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.11

Addiere $- 5$ und $1$ .

$\frac{8 x - 4}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.12

Faktorisiere $4$ aus $8 x - 4$ heraus.

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Schritt 11.12.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{4 (2 x) - 4}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.12.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (2 x) + 4 (- 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 11.12.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{4 (2 x - 1)}{- (- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 12.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- x + 2) (x + 5)}$

Schritt 12.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- (x) + 2) (x + 5)}$

Schritt 12.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- \frac{4 (2 x - 1)}{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 5)}$

Schritt 12.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- \frac{4 (2 x - 1)}{- (x - 2) (x + 5)}$

Schritt 12.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.5.1

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$- \frac{4 (2 x - 1)}{- 1 (x - 2) (x + 5)}$

Schritt 12.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 12.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$

Schritt 12.5.4

Mutltipliziere $\frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$ mit $1$ .

$\frac{4 (2 x - 1)}{(x - 2) (x + 5)}$