Algebravorstufe Beispiele

$\frac{7 x}{x + 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{14}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{7 x}{x + 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{14}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{7 x}{x + 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{7 x}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{8}{x - 1} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Um $\frac{8}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{7 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{8}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{7 x}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{8}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{8}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{8 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ um.

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{8 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 x (x - 1) + 8 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 x (x - 1) + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x \cdot x + 7 x \cdot - 1 + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 1 + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{7 x^{2} + 7 x \cdot - 1 + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{7 x^{2} - 7 x + 8 (x + 1) - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x^{2} - 7 x + 8 x + 8 \cdot 1 - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{7 x^{2} - 7 x + 8 x + 8 - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 7.1

Addiere $- 7 x$ und $8 x$ .

$\frac{7 x^{2} + x + 8 - 14}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $14$ von $8$ .

$\frac{7 x^{2} + x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 6 = - 42$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{7 x^{2} + 1 x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 8.1.2

Schreibe $1$ um als $- 6$ plus $7$

$\frac{7 x^{2} + (- 6 + 7) x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 x^{2} - 6 x + 7 x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(7 x^{2} - 6 x) + 7 x - 6}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (7 x - 6) + 1 (7 x - 6)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x - 6$ .

$\frac{(7 x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(7 x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 x - 6}{x - 1}$