Algebravorstufe Beispiele

$\frac{9 k - 3}{1 - 9 k^{2}} \cdot \frac{9 k^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 1

Faktorisiere $3$ aus $9 k - 3$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 k$ heraus.

$\frac{3 (3 k) - 3}{1 - 9 k^{2}} \cdot \frac{9 k^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (3 k) + 3 (- 1)}{1 - 9 k^{2}} \cdot \frac{9 k^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 k) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (3 k - 1)}{1 - 9 k^{2}} \cdot \frac{9 k^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 (3 k - 1)}{1^{2} - 9 k^{2}} \cdot \frac{9 k^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 2.2

Schreibe $9 k^{2}$ als ${(3 k)}^{2}$ um.

$\frac{3 (3 k - 1)}{1^{2} - {(3 k)}^{2}} \cdot \frac{9 k^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 3 k$ .

$\frac{3 (3 k - 1)}{(1 + 3 k) (1 - (3 k))} \cdot \frac{9 k^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (3 k - 1)}{(1 + 3 k) (1 - 3 k)} \cdot \frac{9 k^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $9 k^{2}$ als ${(3 k)}^{2}$ um.

$\frac{3 (3 k - 1)}{(1 + 3 k) (1 - 3 k)} \cdot \frac{{(3 k)}^{2} + 6 k + 1}{6}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 (3 k - 1)}{(1 + 3 k) (1 - 3 k)} \cdot \frac{{(3 k)}^{2} + 6 k + 1^{2}}{6}$

Schritt 3.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 k = 2 \cdot (3 k) \cdot 1$

Schritt 3.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 (3 k - 1)}{(1 + 3 k) (1 - 3 k)} \cdot \frac{{(3 k)}^{2} + 2 \cdot (3 k) \cdot 1 + 1^{2}}{6}$

Schritt 3.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 3 k$ und $b = 1$ .

$\frac{3 (3 k - 1)}{(1 + 3 k) (1 - 3 k)} \cdot \frac{{(3 k + 1)}^{2}}{6}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{3 (3 k - 1) {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 6}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 k - 1) {(3 k + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 ((3 k - 1) {(3 k + 1)}^{2})}{(1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 6}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $(1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 6$ heraus.

$\frac{3 ((3 k - 1) {(3 k + 1)}^{2})}{3 ((1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 2)}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 ((3 k - 1) {(3 k + 1)}^{2})}{3 ((1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 2)}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 k - 1) {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 2}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 k - 1$ und $1 - 3 k$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 k$ heraus.

$\frac{(- (- 3 k) - 1) {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 2}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (- 3 k) - 1 (1)) {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 2}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 k) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (- 3 k + 1) {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 2}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $- (- 3 k + 1)$ als $- 1 (- 3 k + 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 3 k + 1) {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) (1 - 3 k) \cdot 2}$

Schritt 4.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 3 k + 1) {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) (- 3 k + 1) \cdot 2}$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 3 k + 1) {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) (- 3 k + 1) \cdot 2}$

Schritt 4.3.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 {(3 k + 1)}^{2}}{(1 + 3 k) \cdot 2}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3 k + 1)}^{2}$ und $1 + 3 k$ .

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Schritt 4.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 {(3 k + 1)}^{2}}{(3 k + 1) \cdot 2}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $3 k + 1$ aus $- 1 {(3 k + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(3 k + 1) (- 1 (3 k + 1))}{(3 k + 1) \cdot 2}$

Schritt 4.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.3.1

Faktorisiere $3 k + 1$ aus $(3 k + 1) \cdot 2$ heraus.

$\frac{(3 k + 1) (- 1 (3 k + 1))}{(3 k + 1) (2)}$

Schritt 4.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 k + 1) (- 1 (3 k + 1))}{(3 k + 1) \cdot 2}$

Schritt 4.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (3 k + 1)}{2}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 k + 1}{2}$