Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x - y}{x + y} - \frac{x + y}{x - y}$

Schritt 1

Um $\frac{x - y}{x + y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x + y}{x - y}$

Schritt 2

Um $- \frac{x + y}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + y) (x - y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x - y}{x + y}$ mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{x + y}{x - y}$ mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(x - y) (x + y)$ um.

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - y) (x - y) - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{1} (x - y) - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.2

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x - y)}^{1 + 1} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{2} - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.5

Schreibe $(x + y) (x + y)$ als ${(x + y)}^{2}$ um.

$\frac{{(x - y)}^{2} - {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x - y$ und $b = x + y$ .

$\frac{(x - y + x + y) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(2 x - y + y) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{(2 x + 0) (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7.3

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 x (x - y - (x + y))}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (x - y - x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{2 x (- y + 0 - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7.6

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{2 x (- y - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7.7

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$\frac{2 x \cdot - 2 y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x y}{(x + y) (x - y)}$