Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{x^{2} - 12 x + 32}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $32$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 8, - 4$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{x - 2}{x - 8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 3

Um $- \frac{3 x}{4 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 8) (4 - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{x - 8}$ mit $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3 x}{4 - x}$ mit $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 8) (4 - x)$ um.

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(4 - x) (x - 8)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 2) (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x - 2) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (4 - x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x - x \cdot x - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 + 2 x - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 24 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.6

Addiere $6 x$ und $24 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.8

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.9

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2} + 30 x - 8$ heraus.

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Schritt 6.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.9.2

Faktorisiere $2$ aus $30 x$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.9.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.9.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x)$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 6.9.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 4)}$

Schritt 7.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 1 (4))}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$ zum Zähler.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Schritt 7.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Schritt 7.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 8) (- x + 4)$ um.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4) - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} - - 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 88$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x - 8 + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.6

Addiere $- 8$ und $88$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7

Schreibe $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ heraus.

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Schritt 8.7.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2}) + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.1.2

Faktorisiere $5$ aus $30 x$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.1.3

Faktorisiere $5$ aus $80$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x^{2}) + 5 (6 x)$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.7.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 8.7.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{5 (- x^{2} + 6 (x) + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.2.1.2

Schreibe $6$ um als $- 2$ plus $8$

$\frac{5 (- x^{2} + (- 2 + 8) x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (- x^{2} - 2 x + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.7.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{5 ((- x^{2} - 2 x) + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{5 (x (- x - 2) - 8 (- x - 2))}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 8.7.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 2$ .

$\frac{5 ((- x - 2) (x - 8))}{(- x + 4) (x - 8)}$

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 8$ .

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Schritt 9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (- x - 2)}{- x + 4}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{5 (- (x) - 2)}{- x + 4}$

Schritt 9.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{5 (- (x) - 1 (2))}{- x + 4}$

Schritt 9.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{5 (- (x + 2))}{- x + 4}$

Schritt 9.5

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- x + 4}$

Schritt 9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) + 4}$

Schritt 9.7

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) - 1 (- 4)}$

Schritt 9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x - 4)}$

Schritt 9.9

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Schritt 9.10

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Schritt 9.11

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (x + 2)}{x - 4}$