Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x + y}{x^{2} - x y} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x + y}{x \cdot x - x y} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{x + y}{x \cdot x + x (- 1 y)} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{x + y}{x (x - 1 y)} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{x + y}{x (x - y)} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 2

Um $\frac{x + y}{x (x - y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x + y}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x - y}{x y} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 3

Um $- \frac{x - y}{x y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x + y}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x - y}{x y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x - y) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + y}{x (x - y)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x + y) y}{x (x - y) y} - \frac{x - y}{x y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x - y}{x y}$ mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{(x + y) y}{x (x - y) y} - \frac{(x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $x (x - y) y$ um.

$\frac{(x + y) y}{x y (x - y)} - \frac{(x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + y) y - (x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x y + y \cdot y - (x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x y + y^{2} - (x - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x y + y^{2} + (- x - - y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x y + y^{2} + (- x + 1 y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x y + y^{2} + (- x + y) (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $(- x + y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x y + y^{2} - x (x - y) + y (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x y + y^{2} - x \cdot x - x (- y) + y (x - y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x y + y^{2} - x \cdot x - x (- y) + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x y + y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} - x (- y) + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + 1 x y + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + y x + y (- y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + y x - y \cdot y}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.1.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.6.1.6.1

Bewege $y$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + y x - (y \cdot y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + y x - y^{2}}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 6.1.6.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + x y + x y - y^{2}}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.6.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{x y + y^{2} - x^{2} + 2 x y - y^{2}}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.7

Addiere $x y$ und $2 x y$ .

$\frac{y^{2} - x^{2} + 3 x y - y^{2}}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.8

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x y + 0}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.9

Addiere $- x^{2} + 3 x y$ und $0$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x y}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.10

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + 3 x y$ heraus.

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Schritt 6.1.10.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x) + 3 x y}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.10.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x y$ heraus.

$\frac{x (- x) + x (3 y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.1.10.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x (3 y)$ heraus.

$\frac{x (- x + 3 y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- x + 3 y)}{x y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x + 3 y}{y (x - y)} - \frac{2}{x - y}$

Schritt 7

Um $- \frac{2}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{- x + 3 y}{y (x - y)} - \frac{2}{x - y} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (x - y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x - y}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{- x + 3 y}{y (x - y)} - \frac{2 y}{(x - y) y}$

Schritt 8.2

Stelle die Faktoren von $(x - y) y$ um.

$\frac{- x + 3 y}{y (x - y)} - \frac{2 y}{y (x - y)}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + 3 y - 2 y}{y (x - y)}$

Schritt 10

Subtrahiere $2 y$ von $3 y$ .

$\frac{- x + y}{y (x - y)}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + y$ und $x - y$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + y}{y (x - y)}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{- (x) - 1 (- y)}{y (x - y)}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{- (x - y)}{y (x - y)}$

Schritt 11.4

Schreibe $- (x - y)$ als $- 1 (x - y)$ um.

$\frac{- 1 (x - y)}{y (x - y)}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - y)}{y (x - y)}$

Schritt 11.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y}$