Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2}{3 x^{2} + 4 x - 7} + \frac{1}{3 x^{2} + 19 x + 28}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2}{3 x^{2} + 4 (x) - 7} + \frac{1}{3 x^{2} + 19 x + 28}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $4$ um als $- 3$ plus $7$

$\frac{2}{3 x^{2} + (- 3 + 7) x - 7} + \frac{1}{3 x^{2} + 19 x + 28}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{3 x^{2} - 3 x + 7 x - 7} + \frac{1}{3 x^{2} + 19 x + 28}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2}{(3 x^{2} - 3 x) + 7 x - 7} + \frac{1}{3 x^{2} + 19 x + 28}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2}{3 x (x - 1) + 7 (x - 1)} + \frac{1}{3 x^{2} + 19 x + 28}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} + \frac{1}{3 x^{2} + 19 x + 28}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 28 = 84$ und deren Summe gleich $b = 19$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $19$ aus $19 x$ heraus.

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} + \frac{1}{3 x^{2} + 19 (x) + 28}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $19$ um als $7$ plus $12$

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} + \frac{1}{3 x^{2} + (7 + 12) x + 28}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} + \frac{1}{3 x^{2} + 7 x + 12 x + 28}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} + \frac{1}{(3 x^{2} + 7 x) + 12 x + 28}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} + \frac{1}{x (3 x + 7) + 4 (3 x + 7)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 7$ .

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} + \frac{1}{(3 x + 7) (x + 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{1}{(3 x + 7) (x + 4)}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{(3 x + 7) (x + 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{1}{(3 x + 7) (x + 4)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (3 x + 7) (x + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{(x - 1) (3 x + 7)}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x - 1) (3 x + 7) (x + 4)} + \frac{1}{(3 x + 7) (x + 4)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(3 x + 7) (x + 4)}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 4)}{(x - 1) (3 x + 7) (x + 4)} + \frac{x - 1}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (3 x + 7) (x + 4)$ um.

$\frac{2 (x + 4)}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x + 4) + x - 1}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot 4 + x - 1}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{2 x + 8 + x - 1}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.3

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\frac{3 x + 8 - 1}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)}$

Schritt 6.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{3 x + 7}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 7$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x + 7}{(3 x + 7) (x + 4) (x - 1)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(x + 4) (x - 1)}$