Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2}{3 x^{2} - 20 x + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 32 = 96$ und deren Summe gleich $b = - 20$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 20$ aus $- 20 x$ heraus.

$\frac{2}{3 x^{2} - 20 (x) + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 20$ um als $- 8$ plus $- 12$

$\frac{2}{3 x^{2} + (- 8 - 12) x + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{3 x^{2} - 8 x - 12 x + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2}{(3 x^{2} - 8 x) - 12 x + 32} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2}{x (3 x - 8) - 4 (3 x - 8)} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 8$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 x + 16}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ und deren Summe gleich $b = - 14$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 14$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x^{2} - 14 (x) + 16}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 14$ um als $- 6$ plus $- 8$

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x^{2} + (- 6 - 8) x + 16}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x^{2} - 6 x - 8 x + 16}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{(3 x^{2} - 6 x) - 8 x + 16}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{3 x (x - 2) - 8 (x - 2)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} + \frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)}$

Schritt 2

Um $\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x - 8) (x - 4) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{(3 x - 8) (x - 4)}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(3 x - 8) (x - 4) (x - 2)} + \frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x - 2) (3 x - 8)}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(3 x - 8) (x - 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{(x - 2) (3 x - 8) (x - 4)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(3 x - 8) (x - 4) (x - 2)$ um.

$\frac{2 (x - 2)}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)} + \frac{x - 4}{(x - 2) (3 x - 8) (x - 4)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (3 x - 8) (x - 4)$ um.

$\frac{2 (x - 2)}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)} + \frac{x - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x - 2) + x - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 + x - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 + x - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Schritt 6.3

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\frac{3 x - 4 - 4}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Schritt 6.4

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$\frac{3 x - 8}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 8$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x - 8}{(3 x - 8) (x - 2) (x - 4)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(x - 2) (x - 4)}$