Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 20} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 5, - 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{1}{(x - 5) (x - 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3

Um $- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 4) {(x - 5)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{(x - 5) (x - 4)}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x - 5}{(x - 5) (x - 4) (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 4.2

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1} (x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 4.3

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1 + 1} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)} - \frac{5 (x - 4)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 5 - 5 (x - 4)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 5 - 5 x - 5 \cdot - 4}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$\frac{x - 5 - 5 x + 20}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $5 x$ von $x$ .

$\frac{- 4 x - 5 + 20}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 6.4

Addiere $- 5$ und $20$ .

$\frac{- 4 x + 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{- (4 x) + 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 7.2

Schreibe $15$ als $- 1 (- 15)$ um.

$\frac{- (4 x) - 1 (- 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 15)$ heraus.

$\frac{- (4 x - 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Schreibe $- (4 x - 15)$ als $- 1 (4 x - 15)$ um.

$\frac{- 1 (4 x - 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Schritt 7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x - 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$