Algebravorstufe Beispiele

$\frac{14 x^{2} + x - 3}{4 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 14 \cdot - 3 = - 42$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{14 x^{2} + 1 x - 3}{4 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 6$ plus $7$

$\frac{14 x^{2} + (- 6 + 7) x - 3}{4 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{14 x^{2} - 6 x + 7 x - 3}{4 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(14 x^{2} - 6 x) + 7 x - 3}{4 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (7 x - 3) + 1 (7 x - 3)}{4 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x - 3$ .

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 2

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 8$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 (x) - 8} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 x + 4 \cdot - 2} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{49 x^{2} - 9}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $49 x^{2}$ als ${(7 x)}^{2}$ um.

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{{(7 x)}^{2} - 9}$

Schritt 3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{{(7 x)}^{2} - 3^{2}}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 7 x$ und $b = 3$ .

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{(7 x + 3) (7 x - 3)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x - 3$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $7 x - 3$ aus $(7 x + 3) (7 x - 3)$ heraus.

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{(7 x - 3) (7 x + 3)}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(7 x - 3) (2 x + 1)}{4 (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{(7 x - 3) (7 x + 3)}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + 1}{4 (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{7 x + 3}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $4 (x - 2)$ heraus.

$\frac{2 x + 1}{(x - 2) \cdot 4} \cdot \frac{x - 2}{7 x + 3}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x + 1}{(x - 2) \cdot 4} \cdot \frac{x - 2}{7 x + 3}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + 1}{4} \cdot \frac{1}{7 x + 3}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{2 x + 1}{4}$ mit $\frac{1}{7 x + 3}$ .

$\frac{2 x + 1}{4 (7 x + 3)}$