Algebravorstufe Beispiele

$\frac{s^{2} - 16}{9 s + 36} \cdot \frac{27 s + 108}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{s^{2} - 4^{2}}{9 s + 36} \cdot \frac{27 s + 108}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = s$ und $b = 4$ .

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 s + 36} \cdot \frac{27 s + 108}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 s + 36$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 s$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s) + 36} \cdot \frac{27 s + 108}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $36$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 s + 9 \cdot 4} \cdot \frac{27 s + 108}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 s + 9 \cdot 4$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 s + 108}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $27$ aus $27 s + 108$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $27$ aus $27 s$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s) + 108}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $27$ aus $108$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 s + 27 \cdot 4}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $27$ aus $27 s + 27 \cdot 4$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 s^{2} - 24 s + 48}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 s^{2} - 24 s + 48$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 s^{2}$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 (s^{2}) - 24 s + 48}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 24 s$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 (s^{2}) + 3 (- 8 s) + 48}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 s^{2} + 3 (- 8 s) + 3 \cdot 16}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 s^{2} + 3 (- 8 s)$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 (s^{2} - 8 s) + 3 \cdot 16}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (s^{2} - 8 s) + 3 \cdot 16$ heraus.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 (s^{2} - 8 s + 16)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 (s^{2} - 8 s + 4^{2})}$

Schritt 3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 s = 2 \cdot s \cdot 4$

Schritt 3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 (s^{2} - 2 \cdot s \cdot 4 + 4^{2})}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = s$ und $b = 4$ .

$\frac{(s + 4) (s - 4)}{9 (s + 4)} \cdot \frac{27 (s + 4)}{3 {(s - 4)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{(s + 4) (s - 4) (27 (s + 4))}{9 (s + 4) (3 {(s - 4)}^{2})}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s + 4$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(s + 4) (s - 4) (27 (s + 4))}{9 (s + 4) (3 {(s - 4)}^{2})}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(s - 4) (27 (s + 4))}{9 (3 {(s - 4)}^{2})}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $s - 4$ aus $9 (3 {(s - 4)}^{2})$ heraus.

$\frac{(s - 4) (27 (s + 4))}{(s - 4) (9 (3 (s - 4)))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(s - 4) (27 (s + 4))}{(s - 4) (9 (3 (s - 4)))}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 (s + 4)}{9 (3 (s - 4))}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $9$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $9$ aus $27 (s + 4)$ heraus.

$\frac{9 (3 (s + 4))}{9 (3 (s - 4))}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (3 (s + 4))}{9 (3 (s - 4))}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (s + 4)}{3 (s - 4)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (s + 4)}{3 (s - 4)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{s + 4}{s - 4}$