Algebravorstufe Beispiele

$\frac{a^{2} + a - 6}{a^{2} - a - 12} \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 16}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{a^{2} + a - 6}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{2} + a - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a - 2) (a + 3)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Schritt 3

Faktorisiere $a^{2} - a - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a - 2) (a + 3)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 2) (a + 3)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{a^{2} - 4^{2}}{a^{2} - 4}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 4$ .

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{a^{2} - 4}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{a^{2} - 2^{2}}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 2$ .

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a + 2) (a - 2)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 2$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $a - 2$ aus $(a + 2) (a - 2)$ heraus.

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a - 2) (a + 2)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a - 2}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a - 2) (a + 2)}$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a - 4} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{a + 2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 4$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $a - 4$ aus $(a + 4) (a - 4)$ heraus.

$\frac{1}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4) (a + 4)}{a + 2}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4) (a + 4)}{a + 2}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 4}{a + 2}$