Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ mit $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ mit $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\sqrt{a}}^{2} - \sqrt{a b} + \sqrt{b a} - {\sqrt{b}}^{2}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1} {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1 + 1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.6

Schreibe ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}$ als $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ um.

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.7

Multipliziere $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Multipliziere $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

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Schritt 1.8.1.1.1

Potenziere $\sqrt{a}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.1.2

Potenziere $\sqrt{a}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.2

Schreibe ${\sqrt{a}}^{2}$ als $a$ um.

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Schritt 1.8.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a}$ als $a^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.2.5

Vereinfache.

$\frac{a + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a - \sqrt{a} \sqrt{b} - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.6

Multipliziere $- \sqrt{b} (- \sqrt{b})$ .

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Schritt 1.8.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + 1 \sqrt{b} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.6.2

Mutltipliziere $\sqrt{b}$ mit $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.6.3

Potenziere $\sqrt{b}$ mit $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.6.4

Potenziere $\sqrt{b}$ mit $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt{b}}^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1 + 1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.7

Schreibe ${\sqrt{b}}^{2}$ als $b$ um.

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Schritt 1.8.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{b}$ als $b^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{2}{2}}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{2}{2}}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.1.7.5

Vereinfache.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $\sqrt{a b}$ von $- \sqrt{b a}$ .

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Schritt 1.8.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$\frac{a - \sqrt{a b} - \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 1.8.2.2

Subtrahiere $\sqrt{a b}$ von $- \sqrt{a b}$ .

$\frac{a - 2 \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a - 2 \sqrt{a b} + b + a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a - 2 \sqrt{a b} + b + a + 2 \sqrt{a b} + b$ .

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Schritt 2.2.1

Addiere $- 2 \sqrt{a b}$ und $2 \sqrt{a b}$ .

$\frac{a + b + a + 0 + b}{a - b}$

Schritt 2.2.2

Addiere $a + b + a$ und $0$ .

$\frac{a + b + a + b}{a - b}$

Schritt 2.3

Addiere $a$ und $a$ .

$\frac{2 a + b + b}{a - b}$

Schritt 2.4

Addiere $b$ und $b$ .

$\frac{2 a + 2 b}{a - b}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 a + 2 b$ heraus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{2 (a) + 2 b}{a - b}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 b$ heraus.

$\frac{2 (a) + 2 (b)}{a - b}$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (a) + 2 (b)$ heraus.

$\frac{2 (a + b)}{a - b}$