Algebravorstufe Beispiele

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} + 4 t^{3}}{t^{2} + 3 t}$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2 t^{2}$ aus $2 t^{2} + 4 t^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2 t^{2}$ aus $2 t^{2}$ heraus.

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1) + 4 t^{3}}{t^{2} + 3 t}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2 t^{2}$ aus $4 t^{3}$ heraus.

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1) + 2 t^{2} (2 t)}{t^{2} + 3 t}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2 t^{2}$ aus $2 t^{2} (1) + 2 t^{2} (2 t)$ heraus.

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t^{2} + 3 t}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} + 3 t$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t \cdot t + 3 t}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $t$ aus $3 t$ heraus.

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t \cdot t + t \cdot 3}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot 3$ heraus.

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 2

Faktorisiere $t^{2} + 4 t + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} - (t) - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 1$ um als $4$ plus $- 5$

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} + (4 - 5) t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} + 4 t - 5 t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(2 t^{2} + 4 t) - 5 t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t (t + 2) - 5 (t + 2)} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $t + 2$ .

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 4

Faktorisiere $t^{2} + 3 t + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 1$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t + 3}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{t + 3}{(t + 2) (2 t - 5)}$ mit $\frac{t}{t + 2}$ .

$\frac{(t + 3) t}{(t + 2) (2 t - 5) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 6

Potenziere $t + 2$ mit $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1} (t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 7

Potenziere $t + 2$ mit $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{1} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1 + 1} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Schritt 10

Kombinieren.

$\frac{(t + 3) t (2 t^{2} (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Schritt 11

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 11.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t^{1}) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Schritt 11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(t + 3) t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Schritt 11.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 3$ .

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Schritt 12.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Schritt 12.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{3}$ und $t$ .

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3} (2 (1 + 2 t))$ heraus.

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)}$

Schritt 12.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.2.1

Faktorisiere $t$ aus ${(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)$ heraus.

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{t ({(t + 2)}^{2} (2 t - 5))}$

Schritt 12.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{t ({(t + 2)}^{2} (2 t - 5))}$

Schritt 12.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Forme um.

$\frac{(t + 3) t (2 t^{2} (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.2

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 13.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t^{1}) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(t + 3) t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.3

Forme um.

$\frac{t^{2} t (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 13.4.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{2} t^{1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.6

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

$\frac{t \cdot t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.7

Forme um.

$\frac{t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 13.8

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{t^{2} \cdot 2 (1 + 2 t)}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Schritt 14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$\frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$