Algebravorstufe Beispiele

$\frac{t^{3} - 4 t}{t - t^{4}} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3} - 4 t$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

$\frac{t \cdot t^{2} - 4 t}{t - t^{4}} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- 4 t$ heraus.

$\frac{t \cdot t^{2} + t \cdot - 4}{t - t^{4}} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t^{2} + t \cdot - 4$ heraus.

$\frac{t (t^{2} - 4)}{t - t^{4}} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{t (t^{2} - 2^{2})}{t - t^{4}} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 2$ .

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t - t^{4}} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $t$ aus $t - t^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t^{1} - t^{4}} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t \cdot 1 - t^{4}} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $t$ aus $- t^{4}$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t \cdot 1 + t (- t^{3})} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 1 + t (- t^{3})$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t^{3})} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1^{3} - t^{3})} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t ((1 - t) (1^{2} + 1 t + t^{2}))} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t ((1 - t) (1 + 1 t + t^{2}))} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t ((1 - t) (1 + t + t^{2}))} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t^{4} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{4} - t$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{4}$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t \cdot t^{3} - t}{4 t - t^{3}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- t$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t \cdot t^{3} + t \cdot - 1}{4 t - t^{3}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t^{3} + t \cdot - 1$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t (t^{3} - 1)}{4 t - t^{3}}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t (t^{3} - 1^{3})}{4 t - t^{3}}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = t$ und $b = 1$ .

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t ((t - 1) (t^{2} + t \cdot 1 + 1^{2}))}{4 t - t^{3}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t ((t - 1) (t^{2} + t + 1^{2}))}{4 t - t^{3}}$

Schritt 3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{4 t - t^{3}}$

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t (t - 1) (t^{2} + t + 1)}{4 t - t^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $t$ aus $4 t - t^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $t$ aus $4 t$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t (t - 1) (t^{2} + t + 1)}{t \cdot 4 - t^{3}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- t^{3}$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t (t - 1) (t^{2} + t + 1)}{t \cdot 4 + t (- t^{2})}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 4 + t (- t^{2})$ heraus.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t (t - 1) (t^{2} + t + 1)}{t (4 - t^{2})}$

Schritt 4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t (t - 1) (t^{2} + t + 1)}{t (2^{2} - t^{2})}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = t$ .

$\frac{t (t + 2) (t - 2)}{t (1 - t) (1 + t + t^{2})} \cdot \frac{t (t - 1) (t^{2} + t + 1)}{t (2 + t) (2 - t)}$

Schritt 5

Kombinieren.

$\frac{t (t + 2) (t - 2) (t (t - 1) (t^{2} + t + 1))}{t (1 - t) (1 + t + t^{2}) (t (2 + t) (2 - t))}$

Schritt 6

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Bewege $t$ .

$\frac{t \cdot t (t + 2) (t - 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{t (1 - t) (1 + t + t^{2}) (t (2 + t) (2 - t))}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{2} (t + 2) (t - 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{t (1 - t) (1 + t + t^{2}) (t (2 + t) (2 - t))}$

Schritt 7

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Bewege $t$ .

$\frac{t^{2} (t + 2) (t - 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{t \cdot t (1 - t) (1 + t + t^{2}) ((2 + t) (2 - t))}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{2} (t + 2) (t - 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{t^{2} (1 - t) (1 + t + t^{2}) ((2 + t) (2 - t))}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} (t + 2) (t - 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{t^{2} (1 - t) (1 + t + t^{2}) ((2 + t) (2 - t))}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((t + 2) (t - 2)) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{((1 - t) (1 + t + t^{2})) ((2 + t) (2 - t))}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t + 2$ und $2 + t$ .

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$\frac{((t + 2) (t - 2)) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2}) ((t + 2) (2 - t))}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t + 2) (t - 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2}) ((t + 2) (2 - t))}$

Schritt 9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(t - 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2}) (2 - t)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t - 2$ und $2 - t$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $t$ heraus.

$\frac{(- 1 (- t) - 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2}) (2 - t)}$

Schritt 10.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{(- 1 (- t) - 1 (2)) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2}) (2 - t)}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- t) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- 1 (- t + 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2}) (2 - t)}$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- t + 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2}) (- t + 2)}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- t + 2) ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2}) (- t + 2)}$

Schritt 10.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 ((t - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2})}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t - 1$ und $1 - t$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $t$ heraus.

$\frac{- 1 ((- 1 (- t) - 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2})}$

Schritt 11.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 ((- 1 (- t) - 1 (1)) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2})}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- t) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 1 (- t + 1) (t^{2} + t + 1))}{(1 - t) (1 + t + t^{2})}$

Schritt 11.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 1 (- t + 1) (t^{2} + t + 1))}{(- t + 1) (1 + t + t^{2})}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 1 (- t + 1) (t^{2} + t + 1))}{(- t + 1) (1 + t + t^{2})}$

Schritt 11.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 1 (t^{2} + t + 1))}{1 + t + t^{2}}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2} + t + 1$ und $1 + t + t^{2}$ .

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Schritt 12.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 1 (t^{2} + t + 1))}{t^{2} + t + 1}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 1 (t^{2} + t + 1))}{t^{2} + t + 1}$

Schritt 12.3

Dividiere $- 1 \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$- 1 \cdot (- 1)$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Schreibe $- 1 \cdot (- 1)$ als $- (- 1)$ um.

$- (- 1)$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$