Algebravorstufe Beispiele

$\frac{y^{2} + 15 y + 50}{y^{2} + 5 y - 6} \cdot \frac{y^{2} + 6 - 7}{y^{2} + 10 y + 25}$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{2} + 15 y + 50$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $50$ und deren Summe $15$ ist.

$5, 10$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{y^{2} + 5 y - 6} \cdot \frac{y^{2} + 6 - 7}{y^{2} + 10 y + 25}$

Schritt 2

Faktorisiere $y^{2} + 5 y - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $5$ ist.

$- 1, 6$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} + 6 - 7}{y^{2} + 10 y + 25}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $7$ von $6$ .

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} - 1}{y^{2} + 10 y + 25}$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{y^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 10 y + 25}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y^{2} + 10 y + 25}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y^{2} + 10 y + 5^{2}}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 5$ .

$\frac{(y + 5) (y + 10)}{(y - 1) (y + 6)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{{(y + 5)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$\frac{(y + 5) (y + 10) ((y + 1) (y - 1))}{(y - 1) (y + 6) {(y + 5)}^{2}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y + 5$ und ${(y + 5)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y + 5$ aus $(y + 5) (y + 10) ((y + 1) (y - 1))$ heraus.

$\frac{(y + 5) ((y + 10) ((y + 1) (y - 1)))}{(y - 1) (y + 6) {(y + 5)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $y + 5$ aus $(y - 1) (y + 6) {(y + 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{(y + 5) ((y + 10) ((y + 1) (y - 1)))}{(y + 5) ((y - 1) (y + 6) (y + 5))}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 5) ((y + 10) ((y + 1) (y - 1)))}{(y + 5) ((y - 1) (y + 6) (y + 5))}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y + 10) ((y + 1) (y - 1))}{(y - 1) (y + 6) (y + 5)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 10) ((y + 1) (y - 1))}{(y - 1) (y + 6) (y + 5)}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y + 10) (y + 1)}{(y + 6) (y + 5)}$