Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} + 7 x + 6}{x^{2} y^{4}} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $7$ ist.

$1, 6$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 1) (x + 6)}{x^{2} y^{4}} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{x^{2} + 2 x + 1}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x + 1) (x + 6)}{x^{2} y^{4}} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x + 1) (x + 6)}{x^{2} y^{4}} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 6)}{x^{2} y^{4}} \cdot \frac{x^{3} y^{3}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{(x + 1) (x + 6) (x^{3} y^{3})}{x^{2} y^{4} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x + 6) (x^{3} y^{3})$ heraus.

$\frac{(x + 1) ((x + 6) (x^{3} y^{3}))}{x^{2} y^{4} {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{2} y^{4} {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) ((x + 6) (x^{3} y^{3}))}{(x + 1) (x^{2} y^{4} (x + 1))}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) ((x + 6) (x^{3} y^{3}))}{(x + 1) (x^{2} y^{4} (x + 1))}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 6) (x^{3} y^{3})}{x^{2} y^{4} (x + 1)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $(x + 6) (x^{3} y^{3})$ heraus.

$\frac{x^{2} ((x + 6) (x y^{3}))}{x^{2} y^{4} (x + 1)}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y^{4} (x + 1)$ heraus.

$\frac{x^{2} ((x + 6) (x y^{3}))}{x^{2} (y^{4} (x + 1))}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} ((x + 6) (x y^{3}))}{x^{2} (y^{4} (x + 1))}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 6) (x y^{3})}{y^{4} (x + 1)}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{4}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $(x + 6) (x y^{3})$ heraus.

$\frac{y^{3} ((x + 6) (x))}{y^{4} (x + 1)}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{4} (x + 1)$ heraus.

$\frac{y^{3} ((x + 6) (x))}{y^{3} (y (x + 1))}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} ((x + 6) (x))}{y^{3} (y (x + 1))}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 6) (x)}{y (x + 1)}$

Schritt 3.5

Stelle die Faktoren in $\frac{(x + 6) (x)}{y (x + 1)}$ um.

$\frac{x (x + 6)}{y (x + 1)}$