Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} - 12 x + 32}{8 x} - x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $32$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 8, - 4$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{8 x} - x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 2

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8 x}{8 x}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{8 x} - x^{2} \cdot \frac{8 x}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{8 x}{8 x}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{8 x} + \frac{- x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 8) (x - 4) - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $(x - 8) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 4) - 8 (x - 4) - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 - 8 (x - 4) - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 - 8 x - 8 \cdot - 4 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.2.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 4 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 4 x - 8 x + 32 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - x^{2} (8 x)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 x^{2} x}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{2})}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{2})}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 x^{1 + 2}}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 1 \cdot 8 x^{3}}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 32 - 8 x^{3}}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7

Schreibe $- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.7.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $32$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 8, - 4$

Schritt 4.1.7.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- 8 x^{3} + (x - 8) (x - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x^{3} + (x - 8) (x - 4)$ heraus.

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Schritt 4.1.7.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3}) + (x - 8) (x - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $(x - 8) (x - 4)$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3}) - ((- x + 8) (x - 4))}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{3}) - ((- x + 8) (x - 4))$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3} + (- x + 8) (x - 4))}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.3

Multipliziere $(- x + 8) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (8 x^{3} - x (x - 4) + 8 (x - 4))}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (8 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 4 + 8 (x - 4))}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (8 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 4 + 8 x + 8 \cdot - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{- (8 x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 8 x + 8 \cdot - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} - x \cdot - 4 + 8 x + 8 \cdot - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} + 4 x + 8 x + 8 \cdot - 4)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.4.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} + 4 x + 8 x - 32)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.1.7.4.2

Addiere $4 x$ und $8 x$ .

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32)}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32}{8 x} - 8 x + 16$

Schritt 5

Um $- 8 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8 x}{8 x}$ .

$- \frac{8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32}{8 x} - 8 x \cdot \frac{8 x}{8 x} + 16$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombiniere $- 8 x$ und $\frac{8 x}{8 x}$ .

$- \frac{8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32}{8 x} + \frac{- 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Schritt 6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (8 x^{3} - x^{2} + 12 x - 32) - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (8 x^{3}) - - x^{2} - (12 x) - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{- 8 x^{3} - - x^{2} - (12 x) - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Schritt 7.2.2

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 1 x^{2} - (12 x) - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - (12 x) - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x - - 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 32$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 8 x (8 x)}{8 x} + 16$

Schritt 7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 8 \cdot 8 x \cdot x}{8 x} + 16$

Schritt 7.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 8 \cdot 8 (x \cdot x)}{8 x} + 16$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 8 \cdot 8 x^{2}}{8 x} + 16$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$\frac{- 8 x^{3} + x^{2} - 12 x + 32 - 64 x^{2}}{8 x} + 16$

Schritt 7.6

Subtrahiere $64 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32}{8 x} + 16$

Schritt 8

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8 x}{8 x}$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32}{8 x} + 16 \cdot \frac{8 x}{8 x}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Kombiniere $16$ und $\frac{8 x}{8 x}$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32}{8 x} + \frac{16 (8 x)}{8 x}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32 + 16 (8 x)}{8 x}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $16$ mit $8$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} - 12 x + 32 + 128 x}{8 x}$

Schritt 10.2

Addiere $- 12 x$ und $128 x$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 63 x^{2} + 116 x + 32}{8 x}$

Schritt 11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3}) - 63 x^{2} + 116 x + 32}{8 x}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 63 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3}) - (63 x^{2}) + 116 x + 32}{8 x}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{3}) - (63 x^{2})$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2}) + 116 x + 32}{8 x}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $116 x$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2}) - (- 116 x) + 32}{8 x}$

Schritt 11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{3} + 63 x^{2}) - (- 116 x)$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x) + 32}{8 x}$

Schritt 11.6

Schreibe $32$ als $- 1 (- 32)$ um.

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x) - 1 (- 32)}{8 x}$

Schritt 11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x) - 1 (- 32)$ heraus.

$\frac{- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32)}{8 x}$

Schritt 11.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.8.1

Schreibe $- (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32)$ als $- 1 (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32)$ um.

$\frac{- 1 (8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32)}{8 x}$

Schritt 11.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 x^{3} + 63 x^{2} - 116 x - 32}{8 x}$