Algebravorstufe Beispiele

$(x - \frac{7}{5}) (x + \frac{5}{7})$

Schritt 1

Multipliziere $(x - \frac{7}{5}) (x + \frac{5}{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + \frac{5}{7}) - \frac{7}{5} (x + \frac{5}{7})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \frac{5}{7} - \frac{7}{5} (x + \frac{5}{7})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \frac{5}{7} - \frac{7}{5} x - \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \frac{5}{7} - \frac{7}{5} x - \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{7}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{7}{5} x - \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + \frac{5 \cdot x}{7} - \frac{7}{5} x - \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{7}{5}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{7} - \frac{x \cdot 7}{5} - \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2.1.5

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{7} - \frac{7 \cdot x}{5} - \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{5}$ in den Zähler.

$x^{2} + \frac{5 x}{7} - \frac{7 x}{5} + \frac{- 7}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$x^{2} + \frac{5 x}{7} - \frac{7 x}{5} + \frac{7 (- 1)}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{5 x}{7} - \frac{7 x}{5} + \frac{7 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{5}{7}$

Schritt 2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{5 x}{7} - \frac{7 x}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot 5$

Schritt 2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{5 x}{7} - \frac{7 x}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot 5$

Schritt 2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{5 x}{7} - \frac{7 x}{5} - 1$

Schritt 2.2

Um $\frac{5 x}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{7} \cdot \frac{5}{5} - \frac{7 x}{5} - 1$

Schritt 2.3

Um $- \frac{7 x}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{7} \cdot \frac{5}{5} - \frac{7 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - 1$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $35$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 x}{7}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{5 x \cdot 5}{7 \cdot 5} - \frac{7 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - 1$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$x^{2} + \frac{5 x \cdot 5}{35} - \frac{7 x}{5} \cdot \frac{7}{7} - 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $\frac{7 x}{5}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$x^{2} + \frac{5 x \cdot 5}{35} - \frac{7 x \cdot 7}{5 \cdot 7} - 1$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$x^{2} + \frac{5 x \cdot 5}{35} - \frac{7 x \cdot 7}{35} - 1$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{5 x \cdot 5 - 7 x \cdot 7}{35} - 1$

Schritt 2.6

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{35}{35}$ .

$x^{2} \cdot \frac{35}{35} + \frac{5 x \cdot 5 - 7 x \cdot 7}{35} - 1$

Schritt 2.7

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{35}{35}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35}{35} + \frac{5 x \cdot 5 - 7 x \cdot 7}{35} - 1$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 35 + 5 x \cdot 5 - 7 x \cdot 7}{35} - 1$

Schritt 2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{35}{35}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35 + 5 x \cdot 5 - 7 x \cdot 7}{35} - 1 \cdot \frac{35}{35}$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{35}{35}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 35 + 5 x \cdot 5 - 7 x \cdot 7}{35} + \frac{- 1 \cdot 35}{35}$

Schritt 2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 35 + 5 x \cdot 5 - 7 x \cdot 7 - 1 \cdot 35}{35}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Bringe $35$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{35 \cdot x^{2} + 5 x \cdot 5 - 7 x \cdot 7 - 1 \cdot 35}{35}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{35 x^{2} + 25 x - 7 x \cdot 7 - 1 \cdot 35}{35}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$\frac{35 x^{2} + 25 x - 49 x - 1 \cdot 35}{35}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $35$ .

$\frac{35 x^{2} + 25 x - 49 x - 35}{35}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $49 x$ von $25 x$ .

$\frac{35 x^{2} - 24 x - 35}{35}$

Schritt 3.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 35 \cdot - 35 = - 1225$ und deren Summe gleich $b = - 24$ ist.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 x$ heraus.

$\frac{35 x^{2} - 24 (x) - 35}{35}$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $- 24$ um als $25$ plus $- 49$

$\frac{35 x^{2} + (25 - 49) x - 35}{35}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{35 x^{2} + 25 x - 49 x - 35}{35}$

Schritt 3.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(35 x^{2} + 25 x) - 49 x - 35}{35}$

Schritt 3.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{5 x (7 x + 5) - 7 (7 x + 5)}{35}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x + 5$ .

$\frac{(7 x + 5) (5 x - 7)}{35}$