Algebravorstufe Beispiele

$| 7 - 4 a | < 3$

Schritt 1

Schreibe $| 7 - 4 a | < 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$7 - 4 a \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 a \geq - 7$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 a \geq - 7$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- 4 a \geq - 7$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 a}{- 4} \leq \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 a}{- 4} \leq \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a \leq \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$a \leq \frac{7}{4}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $7 - 4 a$ nicht negativ ist.

$7 - 4 a < 3$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$7 - 4 a < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 a < - 7$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 a < - 7$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in $- 4 a < - 7$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 a}{- 4} > \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 a}{- 4} > \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a > \frac{- 7}{- 4}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$a > \frac{7}{4}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $7 - 4 a$ negativ ist.

$- (7 - 4 a) < 3$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 7 - 4 a < 3 & a \leq \frac{7}{4} \\ - (7 - 4 a) < 3 & a > \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (7 - 4 a) < 3$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 7 - 4 a < 3 & a \leq \frac{7}{4} \\ - 1 \cdot 7 - (- 4 a) < 3 & a > \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

${\begin{cases} 7 - 4 a < 3 & a \leq \frac{7}{4} \\ - 7 - (- 4 a) < 3 & a > \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 7 - 4 a < 3 & a \leq \frac{7}{4} \\ - 7 + 4 a < 3 & a > \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $7 - 4 a < 3$ , wenn $a \leq \frac{7}{4}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $7 - 4 a < 3$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 a < 3 - 7$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $7$ von $3$ .

$- 4 a < - 4$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 a < - 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Term in $- 4 a < - 4$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 a}{- 4} > \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 a}{- 4} > \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a > \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$a > 1$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $a > 1$ und $a \leq \frac{7}{4}$ .

$1 < a \leq \frac{7}{4}$

Schritt 3

Löse $- 7 + 4 a < 3$ , wenn $a > \frac{7}{4}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- 7 + 4 a < 3$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Addiere $7$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 a < 3 + 7$

Schritt 3.1.1.2

Addiere $3$ und $7$ .

$4 a < 10$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 a < 10$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 a < 10$ durch $4$ .

$\frac{4 a}{4} < \frac{10}{4}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{4} < \frac{10}{4}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a < \frac{10}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$a < \frac{2 (5)}{4}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$a < \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a < \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a < \frac{5}{2}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $a < \frac{5}{2}$ und $a > \frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4} < a < \frac{5}{2}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$1 < a < \frac{5}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$1 < a < \frac{5}{2}$

Intervallschreibweise:

$(1, \frac{5}{2})$

Schritt 6