Algebravorstufe Beispiele

$r^{2} > 3 r + 10$

Schritt 1

Subtrahiere $3 r$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$r^{2} - 3 r > 10$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$r^{2} - 3 r = 10$

Schritt 3

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - 3 r - 10 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $r^{2} - 3 r - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(r - 5) (r + 2) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r - 5 = 0$

$r + 2 = 0$

Schritt 6

Setze $r - 5$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $r - 5$ gleich $0$ .

$r - 5 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 5$

Schritt 7

Setze $r + 2$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $r + 2$ gleich $0$ .

$r + 2 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - 2$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r - 5) (r + 2) = 0$ wahr machen.

$r = 5, - 2$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$r < - 2$

$- 2 < r < 5$

$r > 5$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $r < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $r < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$r = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $r$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{2} > 3 (- 4) + 10$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $16$ ist größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < r < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < r < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$r = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $r$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} > 3 (0) + 10$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $r > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $r > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$r = 8$

Schritt 10.3.2

Ersetze $r$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{2} > 3 (8) + 10$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $64$ ist größer als die rechte Seite $34$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$r < - 2$ Wahr

$- 2 < r < 5$ Falsch

$r > 5$ Wahr

$r < - 2$ Wahr

$- 2 < r < 5$ Falsch

$r > 5$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$r < - 2$ oder $r > 5$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$r < - 2 or r > 5$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (5, \infty)$

Schritt 13