Algebravorstufe Beispiele

$| 3 z - 2 | + 5 > 9$

Schritt 1

Schreibe $| 3 z - 2 | + 5 > 9$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$3 z - 2 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 z \geq 2$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 z \geq 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 z \geq 2$ durch $3$ .

$\frac{3 z}{3} \geq \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z}{3} \geq \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z \geq \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $3 z - 2$ nicht negativ ist.

$3 z - 2 + 5 > 9$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$3 z - 2 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 z < 2$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 z < 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 z < 2$ durch $3$ .

$\frac{3 z}{3} < \frac{2}{3}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z}{3} < \frac{2}{3}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z < \frac{2}{3}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $3 z - 2$ negativ ist.

$- (3 z - 2) + 5 > 9$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 3 z - 2 + 5 > 9 & z \geq \frac{2}{3} \\ - (3 z - 2) + 5 > 9 & z < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8

Addiere $- 2$ und $5$ .

${\begin{cases} 3 z + 3 > 9 & z \geq \frac{2}{3} \\ - (3 z - 2) + 5 > 9 & z < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $- (3 z - 2) + 5 > 9$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 3 z + 3 > 9 & z \geq \frac{2}{3} \\ - (3 z) - - 2 + 5 > 9 & z < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 3 z + 3 > 9 & z \geq \frac{2}{3} \\ - 3 z - - 2 + 5 > 9 & z < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

${\begin{cases} 3 z + 3 > 9 & z \geq \frac{2}{3} \\ - 3 z + 2 + 5 > 9 & z < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $2$ und $5$ .

${\begin{cases} 3 z + 3 > 9 & z \geq \frac{2}{3} \\ - 3 z + 7 > 9 & z < \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $3 z + 3 > 9$ nach $z$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 z > 9 - 3$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$3 z > 6$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 z > 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 z > 6$ durch $3$ .

$\frac{3 z}{3} > \frac{6}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z}{3} > \frac{6}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z > \frac{6}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$z > 2$

Schritt 3

Löse $- 3 z + 7 > 9$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 3 z > 9 - 7$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$- 3 z > 2$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 z > 2$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in $- 3 z > 2$ durch $- 3$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 3 z}{- 3} < \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 z}{- 3} < \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z < \frac{2}{- 3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z < - \frac{2}{3}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$z < - \frac{2}{3}$ oder $z > 2$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$z < - \frac{2}{3} or z > 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (2, \infty)$

Schritt 6