Algebravorstufe Beispiele

$2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$2 x^{2} + 3 (x) - 5 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $3$ um als $- 2$ plus $5$

$2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (2 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{5}{2}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 5)}^{2} + 3 (- 5) - 5 > 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $30$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 5 > 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(4)}^{2} + 3 (4) - 5 > 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $39$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{5}{2}$ Wahr

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - \frac{5}{2}$ Wahr

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{5}{2}$ oder $x > 1$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{5}{2} or x > 1$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (1, \infty)$

Schritt 11