Algebravorstufe Beispiele

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\ln (4 x) + 2 \ln (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (4 x) + \ln (x^{2}) = 1.5$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x \cdot x^{2}) = 1.5$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\ln (4 (x^{2} x)) = 1.5$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (4 (x^{2} x^{1})) = 1.5$

Schritt 2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5$

Schritt 2.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

Schritt 3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (4 x^{3})} = e^{1.5}$

Schritt 4

Schreibe $\ln (4 x^{3}) = 1.5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1.5} = 4 x^{3}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{3} = e^{1.5}$ um.

$4 x^{3} = e^{1.5}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = e^{1.5}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = e^{1.5}$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$

Schritt 5.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ .

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Schritt 5.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 5.4.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 5.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 5.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 5.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 5.4.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 5.4.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 5.4.4.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.4.4.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 5.4.4.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 5.4.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 5.4.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{4}$

Schritt 5.4.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}$ heraus.

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2})}{4}$

Schritt 5.4.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$

Schritt 5.4.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.03862931 \dots$