Algebravorstufe Beispiele

$| 4 x + 2 | + 3 > 9$

Schritt 1

Schreibe $| 4 x + 2 | + 3 > 9$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$4 x + 2 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \geq - 2$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq - 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq - 2$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 2}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 2}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 2}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x \geq \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x \geq \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \geq \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \geq \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $4 x + 2$ nicht negativ ist.

$4 x + 2 + 3 > 9$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$4 x + 2 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x < - 2$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x < - 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < - 2$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 2}{4}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 2}{4}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 2}{4}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x < \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x < \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x < \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x < \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x < - \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $4 x + 2$ negativ ist.

$- (4 x + 2) + 3 > 9$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 4 x + 2 + 3 > 9 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (4 x + 2) + 3 > 9 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8

Addiere $2$ und $3$ .

${\begin{cases} 4 x + 5 > 9 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (4 x + 2) + 3 > 9 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $- (4 x + 2) + 3 > 9$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 4 x + 5 > 9 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - (4 x) - 1 \cdot 2 + 3 > 9 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x + 5 > 9 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 4 x - 1 \cdot 2 + 3 > 9 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${\begin{cases} 4 x + 5 > 9 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 4 x - 2 + 3 > 9 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

${\begin{cases} 4 x + 5 > 9 & x \geq - \frac{1}{2} \\ - 4 x + 1 > 9 & x < - \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $4 x + 5 > 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x > 9 - 5$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$4 x > 4$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 4$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{4}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} > \frac{4}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{4}{4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$x > 1$

Schritt 3

Löse $- 4 x + 1 > 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x > 9 - 1$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$- 4 x > 8$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x > 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x > 8$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{8}{- 4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{8}{- 4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{8}{- 4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $8$ durch $- 4$ .

$x < - 2$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 2$ oder $x > 1$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 2 or x > 1$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

Schritt 6