Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $2$ ist.

$- 4, 6$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 7

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 8

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 6$

Schritt 10

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = 4, - 6$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, 4, - 6$

Schritt 12

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ .

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Schritt 12.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Schritt 12.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 12.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $2$ ist.

$- 4, 6$

Schritt 12.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Schritt 12.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 12.2.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 12.2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 12.2.4

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.4.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 12.2.4.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 12.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 6$

Schritt 12.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 14.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 14.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 2 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{2} + 2 (- 8) - 24} > 0$

Schritt 14.1.3

Die linke Seite $3.375$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 14.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 24} > 0$

Schritt 14.2.3

Die linke Seite $- 0.041\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 14.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1}{{(2)}^{2} + 2 (2) - 24} > 0$

Schritt 14.3.3

Die linke Seite $- 0.0625$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 14.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 + 1}{{(6)}^{2} + 2 (6) - 24} > 0$

Schritt 14.4.3

Die linke Seite $1.041\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 6$ oder $x > 4$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 6 or x > 4$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

Schritt 17