Algebravorstufe Beispiele

$2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1} = 14$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (14)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1})$ als $\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1})$ um.

$\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (2^{2 x + 2})$ durch Herausziehen von $2 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(2 x + 2) \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (3^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(2 x + 2) \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (14)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (14)$

Schritt 4

Bewege $2 \ln (2)$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) = \ln (14)$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) - \ln (14) = 0$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}) = 0$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $2 \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{14}) = - 2 \ln (2)$

Schritt 7.2

Subtrahiere $\ln (\frac{3}{14})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Schritt 8

Faktorisiere $x$ aus $2 x \ln (2) + x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x \ln (2)$ heraus.

$x (2 \ln (2)) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (2 \ln (2)) + x (\ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Schritt 8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 \ln (2)) + x (\ln (3))$ heraus.

$x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ durch $2 \ln (2) + \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ durch $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} - \frac{\ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (\frac{3}{14})$ heraus.

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})$ heraus.

$x = \frac{- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.2.5.1

Schreibe $- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ als $- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ um.

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Dezimalform:

$x = 0.06203479 \dots$