Algebravorstufe Beispiele

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

Schritt 1

Schreibe $2^{x - 1}$ als $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ um.

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Schritt 2

Schreibe $2^{2 x}$ als Potenz um.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Schritt 4

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Schritt 5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

Schritt 6

Addiere $- 4$ und $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

Schritt 7

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{u}{2}$ in den Zähler.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

Schritt 7.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 1$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Schritt 7.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.1.3

Addiere $1$ und $32$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Schritt 8

Setze $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Schritt 9

Löse $\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ um.

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Schritt 9.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Schritt 9.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Schritt 9.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 9.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Schritt 9.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Schritt 10

Setze $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Schritt 11

Löse $\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Schritt 11.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ um.

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Schritt 11.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

Schritt 11.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 11.4

Es gibt keine Lösung für $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Keine Lösung

Schritt 12

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

Schritt 15