Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x}{x - 5} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 5$

Schritt 4

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 5$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{x - 5}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 2}{(- 2) - 5} > 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $0.\overline{285714}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(2) - 5} > 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 0.\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{8}{(8) - 5} > 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $2.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $x > 5$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < 0 or x > 5$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (5, \infty)$

Schritt 10