Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 1, 3, 10 x + 17$

Schritt 1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 1.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.6

Das kgV von $1, 3, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 1.7

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.8

Der Teiler von $10 x + 17$ ist $10 x + 17$ selbst.

$(10 x + 17) = 10 x + 17$

$(10 x + 17)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.9

Das kgV von $x + 1, 10 x + 17$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 1) (10 x + 17)$

Schritt 1.10

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$3 (x + 1) (10 x + 17)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$ mit $3 (x + 1) (10 x + 17)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$ mit $3 (x + 1) (10 x + 17)$ .

$\frac{x}{x + 1} (3 (x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x (10 x + 17) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (10 x) + 3 x \cdot 17 + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 17 + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $17$ mit $3$ .

$3 \cdot 10 x \cdot x + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.7.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$3 \cdot 10 (x \cdot x) + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 \cdot 10 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x + 1) (10 x + 17)$ heraus.

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 ((x + 1) (10 x + 17))) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 ((x + 1) (10 x + 17))) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$30 x^{2} + 51 x + (x + 1) (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.9

Multipliziere $(x + 1) (10 x + 17)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x + 17) + 1 (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x) + x \cdot 17 + 1 (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x) + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.10.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$30 x^{2} + 51 x + 10 x \cdot x + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.10.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.10.1.2.1

Bewege $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 (x \cdot x) + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.10.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.10.1.3

Bringe $17$ auf die linke Seite von $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 \cdot x + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.10.1.4

Mutltipliziere $10 x$ mit $1$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 x + 10 x + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.10.1.5

Mutltipliziere $17$ mit $1$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 x + 10 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.1.10.2

Addiere $17 x$ und $10 x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 27 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $30 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$40 x^{2} + 51 x + 27 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $51 x$ und $27 x$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 3 \frac{13}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $3 \frac{13}{10 x + 17}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{13}{10 x + 17}$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{3 \cdot 13}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $13$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 x + 17$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $10 x + 17$ aus $(x + 1) (10 x + 17)$ heraus.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((10 x + 17) (x + 1))$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((10 x + 17) (x + 1))$

Schritt 2.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 (x + 1)$

Schritt 2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 x + 39 \cdot 1$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $39$ mit $1$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 x + 39$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $39 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$40 x^{2} + 78 x + 17 - 39 x = 39$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $39 x$ von $78 x$ .

$40 x^{2} + 39 x + 17 = 39$

Schritt 3.2

Subtrahiere $39$ von beiden Seiten der Gleichung.

$40 x^{2} + 39 x + 17 - 39 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $39$ von $17$ .

$40 x^{2} + 39 x - 22 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 40 \cdot - 22 = - 880$ und deren Summe gleich $b = 39$ ist.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $39$ aus $39 x$ heraus.

$40 x^{2} + 39 (x) - 22 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $39$ um als $- 16$ plus $55$

$40 x^{2} + (- 16 + 55) x - 22 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$40 x^{2} - 16 x + 55 x - 22 = 0$

Schritt 3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(40 x^{2} - 16 x) + 55 x - 22 = 0$

Schritt 3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$8 x (5 x - 2) + 11 (5 x - 2) = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 2$ .

$(5 x - 2) (8 x + 11) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$8 x + 11 = 0$

Schritt 3.6

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $5 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 3.7

Setze $8 x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $8 x + 11$ gleich $0$ .

$8 x + 11 = 0$

Schritt 3.7.2

Löse $8 x + 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x = - 11$

Schritt 3.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 11$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 11$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 11}{8}$

Schritt 3.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 11}{8}$

Schritt 3.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 11}{8}$

Schritt 3.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{11}{8}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 2) (8 x + 11) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{11}{8}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2}{5}, - \frac{11}{8}$

Dezimalform:

$x = 0.4, - 1.375$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = \frac{2}{5}, - 1 \frac{3}{8}$