Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{3 x + 28} = 1 + \sqrt{x + 9}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x + 28}}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 28}$ als ${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x + 28)}^{1} = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 x + 28 = {(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{x + 9})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$ um.

$3 x + 28 = (1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{x + 9}) (1 + \sqrt{x + 9})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 28 = 1 (1 + \sqrt{x + 9}) + \sqrt{x + 9} (1 + \sqrt{x + 9})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 28 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} (1 + \sqrt{x + 9})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 28 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 x + 28 = 1 + 1 \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{x + 9}$ mit $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \cdot 1 + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{x + 9}$ mit $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{x + 9} \sqrt{x + 9}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{x + 9}$ mit $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1} \sqrt{x + 9}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{x + 9}$ mit $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1} {\sqrt{x + 9}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {\sqrt{x + 9}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{x + 9}}^{2}$ als $x + 9$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 9}$ als ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + {(x + 9)}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$3 x + 28 = 1 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + x + 9$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $1$ und $9$ .

$3 x + 28 = 10 + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 9} + x$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{x + 9}$ und $\sqrt{x + 9}$ .

$3 x + 28 = 10 + 2 \sqrt{x + 9} + x$

Schritt 3

Löse nach $2 \sqrt{x + 9}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $10 + 2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28$ um.

$10 + 2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{x + 9}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x + 9} + x = 3 x + 28 - 10$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x + 9} = 3 x + 28 - 10 - x$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$2 \sqrt{x + 9} = 2 x + 28 - 10$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $10$ von $28$ .

$2 \sqrt{x + 9} = 2 x + 18$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 9})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 9}$ als ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 9)}^{1} = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 9) = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 9 = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$4 x + 36 = {(2 x + 18)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(2 x + 18)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(2 x + 18)}^{2}$ als $(2 x + 18) (2 x + 18)$ um.

$4 x + 36 = (2 x + 18) (2 x + 18)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(2 x + 18) (2 x + 18)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 36 = 2 x (2 x + 18) + 18 (2 x + 18)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 36 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x + 18)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 36 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x + 36 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 18 + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 18 (2 x) + 18 \cdot 18$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 36 x + 18 \cdot 18$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $18$ mit $18$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 36 x + 36 x + 324$

Schritt 5.3.1.3.2

Addiere $36 x$ und $36 x$ .

$4 x + 36 = 4 x^{2} + 72 x + 324$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} + 72 x + 324 = 4 x + 36$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 72 x + 324 - 4 x = 36$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $72 x$ .

$4 x^{2} + 68 x + 324 = 36$

Schritt 6.3

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 68 x + 324 - 36 = 0$

Schritt 6.4

Subtrahiere $36$ von $324$ .

$4 x^{2} + 68 x + 288 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 68 x + 288$ heraus.

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Schritt 6.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) + 68 x + 288 = 0$

Schritt 6.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $68 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (17 x) + 288 = 0$

Schritt 6.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $288$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (17 x) + 4 \cdot 72 = 0$

Schritt 6.5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (17 x)$ heraus.

$4 (x^{2} + 17 x) + 4 \cdot 72 = 0$

Schritt 6.5.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 17 x) + 4 \cdot 72$ heraus.

$4 (x^{2} + 17 x + 72) = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 17 x + 72$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $72$ und deren Summe $17$ ist.

$8, 9$

Schritt 6.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x + 8) (x + 9)) = 0$

Schritt 6.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x + 8) (x + 9) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 6.7

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 6.7.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 6.8

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 6.8.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x + 8) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = - 8, - 9$