Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x}{1 - x} > 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{1 - x} - 1 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{1 - x} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - (1 - x)}{1 - x} > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - - x}{1 - x} > 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1 - - x}{1 - x} > 0$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 1 + 1 x}{1 - x} > 0$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - 1 + x}{1 - x} > 0$

Schritt 2.4.4

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x - 1}{1 - x} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x - 1 = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 1$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{1}{2}, 1$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - x = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0}{1 - (0)} > 1$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.75$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $0.75$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0.75}{1 - (0.75)} > 1$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{1 - (4)} > 1$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 1.\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < 1$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{1}{2} < x < 1$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, 1)$

Schritt 15