Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} - \frac{x}{y - x}$

Schritt 1

Um $\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x} - \frac{x}{y - x}$

Schritt 2

Um $- \frac{x}{y - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x} - \frac{x}{y - x} \cdot \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y^{2} - x^{2}) (y - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}}$ mit $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{2 x (y - x)}{(y^{2} - x^{2}) (y - x)} - \frac{x}{y - x} \cdot \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{y - x}$ mit $\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$ .

$\frac{2 x (y - x)}{(y^{2} - x^{2}) (y - x)} - \frac{x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(y^{2} - x^{2}) (y - x)$ um.

$\frac{2 x (y - x)}{(y - x) (y^{2} - x^{2})} - \frac{x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (y - x)$ heraus.

$\frac{x (2 (y - x)) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x (y^{2} - x^{2})$ heraus.

$\frac{x (2 (y - x)) + x (- (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 (y - x)) + x (- (y^{2} - x^{2}))$ heraus.

$\frac{x (2 (y - x) - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 y + 2 (- x) - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} - - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5.5

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + 1 x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Schritt 5.6

Faktorisiere.

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Schritt 5.6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) ((y + x) (y - x))}$

Schritt 5.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) (y + x) (y - x)}$

Schritt 5.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.7.1

Potenziere $y - x$ mit $1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1} (y - x) (y + x)}$

Schritt 5.7.2

Potenziere $y - x$ mit $1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1} {(y - x)}^{1} (y + x)}$

Schritt 5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1 + 1} (y + x)}$

Schritt 5.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{2} (y + x)}$